Радианная мера угла

Главная ❯ Материалы ❯ Математика ❯ Тригонометрия ❯ Радианная мера угла

До сих пор для измерения углов Вы использовали градусы, а для частей углов - минуты и секунды.
Градусы - удобные с точки зрения повседневной практики единицы измерения углов. Для нужд математики удобнее и естественнее использовать другие единицы измерения углов, которые называются радианами.

Радианом называется центральный угол окружности, опирающийся на дугу, длина которого равна радиусу этой окружности (Рис. 1)

images/trig-1-1.svg

Рис. 1

Если мы выйдем из точки и пройдём вдоль окружности расстояние , то попадём в точку (Рис. 1). Тогда, согласно определению, равен радиану. Если из точки вдоль окружности, не меняя направления, мы снова пройдём расстояние , то попадем в точку и тогда будет равен радианам. Иными словами, шаг длины вдоль окружности поворачивает нас на радиан.

Вопрос: Сколько раз нужно пройти расстояние вдоль окружности, чтобы вернуться в ту же точку, с которой мы начали, т. е. сделать один полный оборот?

Ответ: Длина нашего шага равна . Длина всей окружности, как известно, равна . Следовательно, нам понадобится шагов длины , чтобы обойти всю окружность.

Если шаг длины вдоль окружности поворачивает нас на радиан, а для того, чтобы обойти всю окружность, нам нужно сделать таких шагов, следовательно, нам нужно повернуться на угол радиан.

Радианная мера полного угла равна радиан

Как известно, градусная мера такого же полного угла равна . Получаем связь между радианами и градусами:
или

Итак, всё, что Вам нужно запомнить на данном этапе, так это то, что:

Соотношения будет достаточно для того, чтобы перевести любой угол из радиан в градусы и наоборот! В учебнике есть формулы для перевода из одной единицы в другую, но их не нужно учить. Всё, что Вам понадобится - это соотношение и умение решать пропорции.

Пример 1. Найдите радианную меру угла, равного а) , б) , в) , г) , д) .

Решение
а) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.
б) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.
в) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.
г) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.
д) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.

Замечание: заметим, что во всех разобранных выше случаях по существу мы делали следующее. Пусть - угол, данный в градусах. Чтобы найти его радианную меру, нужно .
Да-да, это та самая формула из учебника, но она полюбится и запомнится только после того, как выпишешь пяток другой пропорций и это изрядно поднадоест.

Пример 2. Найдите градусную меру угла, равного а) , б) , в) , г) , д) .

Решение
а) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.
б) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.
в) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.
г) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.
д) Составим пропорцию:
Следовательно, , т.е.

Замечание: Здесь, как и в предыдущем случае, решив пяток другой таких пропорций, замечаешь, что в сущности всегда делаешь одно и то же: пусть - угол, выраженный в радианах. Тогда его градусная мера равна .

Подведём итоги нашего занятия. Мы познакомились с новой для Вас единицей измерения углов - радианами. Поначалу Ваш организм будет всячески отторгать эти радианы, и это нормально. Решая очередную задачу, содержащую радианы, мозг невольно попытается всё перевести в градусы.
Со временем Вы и сами не заметите, как Ваш мозг полностью перестроится на радианы и эти единицы станут для вас такими же «родными», как и градусы, но на это потребуется некоторое время.

На занятии мы узнали, что полный угол равен радиан и научились переводить углы из градусов в радианы и наоборот.

Вопрос: Кстати, а сколько градусов в угле в радиан?

Чтобы отработать навыки, полученные на занятии, ниже Вас ждут упражнения. Ответы к упражнениям появятся позже, а пока Вы можете, например, отправить мне своё решение на проверку.

Упражнения

Дайте определение угла в радиан. Какова величина полного угла в радианах? Какое целое число радиан укладывается в полный угол?
Запишите соотношение, связывающее радианы и градусы на примере полного угла.
Подумайте или поищите в интернете, почему градусную меру полного угла приняли за (а не, например, за или за ).
Найдите радианную меру угла, заданного в градусах:
а) б) в) г) д) е)
Найдите градусную меру угла, заданного в радианах:
а) б) в) г) д) е)
Сравните углы:
а) и б) и в) и г) и д) и е) и
Пусть - центральный угол, выраженный в радианах, - длина дуги, на которую опирается угол , - радиус окружности. Попробуйте записать формулу, выражающую связь между длиной дуги , и .
Найдите радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной см, если радиус окружности равен см.

Замечание: Если около числа, выражающего меру угла, не стоит никакого значка, например вместо , то угол выражен в радианах, т.е. угол равен радиан.